Sáng kiến kinh nghiệm toán THCS

[lehoa012]

LỜI NÓI ĐẦU

Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học nhất là các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn toán, nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải toán và phát hiện những học sinh có năng lưc về toán học. Đúng như tên gọi của tiêu đề, sáng kiến nhằm tổng hợp đưa ra các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức có tính chất chọn lọc và hướng phát triển bài toán này ở trường trung học cơ sở

Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và học sinh nhiều phương pháp giải những dạng toán khó đã được xây dựng ,một trong những dạng toán đó là dạng toán chứng minh bất đẳng thức và việc phát triển của các bài toán này trong trường trung học cơ sở, nhưng việc biên soạn bài toán này ở các cuốn sách không được tập chung chưa hoàn chỉnh và hệ thống còn hạn chế về phương pháp giải.Với mục đích hệ thống, xây dựng cô đọng những phương pháp giải, hướng phát triển các bài toán, vận dụng kết quả của bài toán này vào giải quyết một số bài toán khác, nhằm mục đích đưa ra một tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm và cũng là một tài liệu giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi của giáo viên được tốt hơn

Với rất nhiều mục đích mà sáng kiến đưa ra, nhưng với thời gian, kiến thức và kinh nghiệm của bản thân còn khiêm tốn ,việc biên soạn còn phụ thuộc vào nhiều tài liệu liên quan của các nhà viết sách, chắc chắn nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú. Nhưng với sự cố gắng của bản thân chắc chắn sáng kiến là một tài liệu quan trọng cho những người quan tâm đến việc dạy và học Toán

Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của bạn đọc để sáng kiến được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán .





A/ CƠ SỞ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :
1. Cơ sở lý luận :
- Với mục tiêu phát hiện ,bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về toán từ đó xây dựng cho học sinh kỹ năng nhận dạng và giải toán
- Thúc đẩy việc tim hiểu mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh
- Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp học THCS
- Với nội dung của đề tài không chỉ phù hợp với những học sinh khá giỏi mà những học sinh yếu hơn vẫn có thể tham khảo được
- Việc vận dụng của đề tài không những giới hạn ở cấp học THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn
2. Cơ sở thực tế
- Thực tế chương trình SGK chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng toán khó ,thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu
- Những học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong việc tìm tài liệu nghiên cứu
- Việc tìm hiểu của giáo viên ở một số chuyên đề ở một số tài liệu còn chưa tập chung và còn mất nhiều thời gian
- Cần thiết phải xây dựng một số chuyên đề về toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học toán được tốt hơn
- Cần phát triển cao hơn , đầy đủ hoàn thiện hơn một số dạng toán cơ bản ở trường THCS
- Việc viết sáng kiến là một định hướng của ngành
B/ MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU
1. Mục đích
- Giới thiệu đầy đủ về phương pháp giải và nội dung một dạng toán cơ bản ở cấp học THCS
- Làm cho học sinh yêu thích môn toán hơn,mong muốn được tìm hiểu nghiên cứu sự thú vị và phong phú của môn Toán
- Phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán
- Rèn luyện khả năng tư suy luận lôgic ,phát triển trí tuệ
- Làm tài liệu tham khảo giáo viên và học sinh nghiên cứu thêm
- Ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực tế khác
- Phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực tư duy tự học của học sinh
2. Yêu cầu
- Nắm vững được những định nghĩa , tính chất và một số bất đẳng thức cơ bản
- Hệ thống hoá các kiến thức và phương pháp giải bài toán về bất đẳng thức
- Có những kỹ năng cần thiết khi biến đổi và chứng minh bất đẳng thức cơ bản
- Có sự đam mê tìm hiểu ,nghiên cứu ,sáng tạo trong việc dạy và học Toán


C/ NỘI DUNG CHÍNH
I/ Kiến thức cơ bản của bất đẳng thức
1/ Định nghĩa bất đẳng thức :
+ Với a>b a – b >0
+ Với a<b a – b <0
2/ Tính chất bất đẳng thức
+ Với a>b và b>c a>c
+ Với a>b a+c>b+c
+ Với a>b và c>d a+c>b+d
+ Với a>b và c<d a-c>b-d
+ Với a>b và c>0 a.c>b.c
+ Với a<b và c<0 a.c<b.c
+ Với a>b 0 và c>d 0 a.c<b.d
+ Với a>b>0 an>bn (n 0)
+ Với a>b an> bn ( n là số lẻ)
+ Với | a | > | b | an> bn ( n là số chẵn)
+ Với m>n>0 am>an ( khi a >1)
am=an ( khi a = 0)
am<an ( khi 0<a <1)
+ Với a>b và a.b>0
3/ Bất đẳng thức cơ bản chứa dấu giá trị tuyệt đối
+ Với a.b 0 | a+b | |a| +|b|
+ Với a.b 0 và |a| |b| | a-b | |a| - |b|
4/ Bất đẳng thức cơ bản chứa căn thức bậc hai , căn bậc ba
+ Với a b 0
+ Với a 0,b 0
+ Với a b 0
+ Với a b
* Chú ý rằng : Dấu >,< ở một số tính chất 1,2,3,4,5,7,8,9,11 và định nghĩa bất đẳng thức vẫn đúng khi thay bởi dấu
5/ Một số bất đẳng thức mang tính chất tổng quát mở rộng đã được chứng minh
5.1/ Bất đẳng thức Cô-si (Caudy):
. Dấu bằng xảy ra khi
BĐT suy rộng : Cho là các số hữu tỉ dương mà
Cho dãy số không âm . Khi đó

5.2 / Bất đẳng thức Bunhiacopski:Giả sử và là hai dãy số tùy ý.
Khi đó
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:


5.3 / Bất đẳng thức Svac-xơ:
Cho và là hai dãy số, trong đó với .
Khi đó

5.4 / Bất đẳng thức Trêbưsep:
Cho hai dãy đơn điệu tăng và (hoặc đơn điệu giảm)
Ta có:
Dấu bằng xảy ra hoặc

5.5 / Bất đẳng thức Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.
Khi đó

5.6 / Bất đẳng thức Nesbit:
* 3 biến: Cho . Khi đó
* 4 biến: . Khi đó
* 6 biến: . Khi đó

5.7 / Bất đẳng thức Minkowski:
Cho hai dãy số không âm và khi đó:
* Với ta có BĐT sau đây:


5.8 / Bất đẳng thức schur :

Dạng thường sử dụng nhất của BDT schur là khi n =1

5.9/ Bất đẳng thức Holder


II/Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở cấp học THCS
1/ Phương pháp sử dụng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương để chứng minh :
Phương pháp : + Để chứng minh A>B ta xét hiệu A-B và chứng minh A-B>0
+ Để chứng minh A<B ta xét hiệu A-B và chứng minh A-B<0
Vd 1.1 : Chứng minh rằng
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1
C/m: xét hiệu (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)- (-1) =
= (x2-5x+4)(x2-5x+6)+1
đặt x2-5x+5=y ta thay vàobiểu thức trên ta có = (y-1)(y+1)+1
= y2 0
Vậy (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1(BĐTĐ)

Vd 1.2: Chứng minh rằng
a/ (a + b)2 2(a2 +b2)
b/ (a +b +c)2 3(a2 + b2 + c2)
c/
C/m :
a/ Xét hiệu (a + b)2 - 2(a2 +b2) =
= -a2 + 2ab – b2
= - (a – b)2 0
vậy (a + b)2 2(a2 +b2) (BĐTĐ)
* Ta có thể làm cách khác như sau
Ta có (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 +b2)
Mà (a - b)2 0 nên (a + b)2 2(a2 +b2) (BĐTĐ)
b/ Tương tự câu a/ ta có
Xét (a + b + c)2 + (a2 -b2) +(a2 -c2) + (b2-c2) = 3(a2 +b2+c2)
Vậy (a +b +c)2 3(a2 + b2 + c2) (BĐTĐ)
c/ Tương tự ta xét tổng sau

Vậy c/ (BĐTĐ)
* Ta thấy bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức Bunhiacôpxki . chứng minh bất đẳng thức này chính là việc chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki tổng quát
* Thật vậy ta chứng minh

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki ta có

Vậy (BĐTĐ)
2/ Phương pháp vận dụng và tính chất bất đẳng thức các phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A>B ,A<B ta dùng các tính chất bất đẳng thức để chứng minh
Vd 2.1 :Cho các số dương a ,b thoả mãn điều kiện a + b = 1 .Chứng minh rằng

C/m: Ta có (1)
( vì a + b = 1)
(2)
Vậy bất đẳng thức (2) đúng ta suy ra (1) đúng
Dấu bằng xảy ra khi a = b
* Ta có thể biến đổi cách khác như sau

Mà nên
Vậy (BĐTĐ) với a > 0,b > 0 và a + b = 1

Vd 2.2 : Cho a + b > 1 . Chứng minh rằng
C/m : Ta có a + b > 1 bình phương hai vế ta có

Mặt khác (a - b)2 0

Cộng từng vế và (**) ta có

Bình phương hai vế (***) ta có

Mặt khác (a2 – b2)2 0

Cộng từng vế của (****) và (*****) ta có
(BĐTĐ)

Vd 2.3 : Cho thoả
Chứng minh rằng
C/m:


Dấu bằng xảy ra

Vd 2.4:Cho Chứng minh:

C/m:

Do đó BĐT sẽ đúng nếu CM được

Ta có

Lại có

Từ đó có đpcm.

Vd 2.5 Cho . CMR :

C/m:

3/ Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết và các phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A>B,A<B ta dùng các bất đẳng cơ bản đã được chứng minh hay chứng minh đơn giản và các tính chất bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức đã cho
Vd 3.1 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác . Chứng minh rằng

C/m: Áp dụng bất đẳng thức với x,y > 0
Ta có:

( vì a + b – c > 0 ; b + c – a > 0 ; a + c – b > 0)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức ta có :

(BĐTĐ)

Vd 3.2: Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức

C/m :
Theo Caudy ta có với

Tương tự ta có
và
Cộng từng vế các bất đẳng thức ta có
(BĐTĐ)
* Ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách khác
+ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để chứng minh
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ( ax+by+cz)2
+ Sử dụng bất đẳng thức (x + y + z)( với x,y,z không âm để chứng minh

 

[lehoa012]

Vd 3.3 : Cho a,b,c 0, a + b + c = 1. Chứng minh rằng
a/
b/
C/m:
a/ Theo Caudy với x,y 0 ta có :

Biến đổi tương tự ta có
và
Cộng từng vế các bất đẳng thức ta có

Dấu bằng xảy ra khi và chi khi
a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1
a = b = c = 0 trái với giả thiết a + b + c = 1
Vậy (BĐTĐ)
* Ta có thể sử dụng bất đẳng thức 3(x2 + y2 + z2) ( x+y+z)2
với cách đặt
b/ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( bộ ba số ) ta có



Vậy ( BĐTĐ)
* Ta có thể sử dụng bất đẳng thức 3(x2 + y2 + z2) ( x+y+z)2
với cách đặt

Vd 3.4 : Cho là ba cạnh tam giác. CMR
C/m:
Đặt



x,y,z>0 và a=y+z;b=x+z;c=x+y
Ta có: VT=
=
Theo Cauchy ta có:
vì x,y dương
=> và các BĐT tương tự.
Cộng các BĐT lại ta có:

=>đpcm
Vd 3.5 : Chứng minh rằng

HD:
Áp dụng BĐT
4/ Phương pháp sử làm tăng (làm trội ) kết hợp tính chất bắc cầu và các phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A<B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh rằng C B ( C đóng vai trò trung gian để so sánh )
Vd 4.1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2

C/m:
Ta có
Thật vậy
A <
Đặt C =
Ta thấy
Vậy C

Ta có A < C < suy ra A <
Vậy (BĐTĐ)

Vd 4.2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2


C/m:
Ta có
Đ ể làm trội ở mỗi nhóm ta thay các phân số bởi phân số lớn nhất
B <
Đặt C =
Ta thấy B < C mà C = n
Vậy (BĐTĐ)

Vd 4.3 : Chứng minh bất đẳng thức với n N và n 2

C/m :
Ta làm trội mỗi số hạng của D

Do đó
D <

Vậy ( BĐTĐ)
5/ Phương pháp sử làm giảm (làm lặn ) kết hợp tính chất bắc cầu và các phép biến đổi tương đương để chứng minh:
Phương pháp : + Để chứng minh A<B ta làm lặn B thành C (B < C) rồi chứng minh rằng A C ( C đóng vai trò trung gian để so sánh )
Vd 5.1 : Chứng minh bất đẳng thức với n N và n 2

C/m :
Đặt
Ta làm giảm mỗi số hạng của A

Do đó
A >

Vậy (BĐTĐ)

6/ Chứng minh bằng phương pháp phản chứng :
Phương pháp : + Để chứng minh A < B .Ta giả sử điều ngược lại A B và chứng minh điều giả sử (A B) là sai ,nên ta suy ra A < B
Vd 6.1 : Cho a2 + b2 2 . Chứng minh rằng a + b 2
C/m :
Giả sử a + b > 2 bình phương hai vế (với a + b >0) ta có
a2 + 2ab + b2 > 4 (1)
Mặt khác 2ab a2 + b2

Mà (theo giả thiết)
Do đó (2)
(2) mâu thuẫn với (1)
Vậy a + b 2

Vd 6.2 : Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng a + b 2
C/m :
Giả sử a + b > 2 ta suy ra (a + b)3 > 8

Chia hai vế cho số dương a + b ta có
ab > a2 – ab + b2
vô lý
Vậy a + b 2
7/ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp :
( Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh những bất đẳng thức mang tính chất tổng quát)
Phương pháp : + Để chứng minh bất đẳng thức A(n) < B(n) ta giả sử bất đẳng thức đúng với n = 1 và n = k (k N)
Ta chứng minh A(n) < B(n) đúng với n = k + 1
Vd 7.1 : Chứng minh bất đẳng thức Caudy với n số không âm
. Dấu bằng xảy ra khi
C/m :
Ta thấy hiển nhiên bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1
Giả sử thì

Đặt thì x 0 ,
Với y 0 và ( do giả thiết quy nạp)
Ta có

Suy ra
Vậy bất đẳng thức đúng với n 2

Vd 7.2: Chứng minh rằng 2n > n3 với mọi số tự nhiên n 10
C/m :
Ta thấy bất đẳng thức đúng với n = 10
210 = 1024 > 103 =1000
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k 10 . Tức là 2k > k3
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 . Tức là 2k+1 > (k +1)3
Xét hiệu 2k+1 - (k +1)3 = 2.2k - k3 – 3k2 – 3k – 1=
= 2(2k - k3 ) + k3 – 3k2 – 3k – 1
Theo giả thiết quy nạp : 2k - k3 > 0
Ta cần chứng minh thêm : k3 – 3k2 – 3k – 1 > 0
Ta có : k3 – 3k2 – 3k – 1 = k(k2 – 3k – 3) – 1
= k(k(k – 3) – 3) - 1
Do k 10 ta suy ra k(k – 3) 70

Vậy 2k+1 > (k +1)3
8/ Phương pháp tam thức bậc hai:
a/ Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
+ Phương pháp : Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a # 0)
Có nghiệm khi = b2 – 4ac 0
Vd 8.1: Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = -2 (1) và a2 + b2 + c2 = 2 (2)
Chứng minh rằng khi biểu diễn trên trục số
C/m : bình phương hai vế của (1) ta có
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 4
Vì a2 + b2 + c2 = 2 nên ta có ab + bc + ac = 1

Ta lại có b + c = -a(a+2)
Do đó b, c là nghiệm của phương trình
X2 + (a+2)X + (a2 + 2a + 1) = 0
Để tồn tại X thì 0

Tương tự
và
* Ta có thể sử dụng bất đẳng thức 2(b2 + c2) (b + c)2 để chứng minh
b/ Định lý về dấu tam thức bậc hai
Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a # 0) có < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi gia trị của x
Vd 8.2: Chứng minh bất đẳng thức sau
x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 4y + 3 > 0
C/m:
Ta viết vế trái dưới dạng tam thức bậc hai đối với x
f(x) = x2 - 2(y - 1)y + 2y2 - 4y + 3
Ta có ’ = (y – 1)2 – (2y2 – 4y +3)
= - y2 + 2y – 2
= - (y – 1)2 – 1<0
Do đó f(x) cùng dấu với hệ số của x2 , tức là f(x) > 0
* Ta có thể chứng minh cách khác .
Chứng minh (x – y + 1)2 + (y – 1)2 + 1 > 0

9/ Phương pháp hình học:
Vd 9.1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c,d>0

C/m :
Xét tứ giác ABCD có AC BD, O là giao của hai đường chéo
D

C

OA = a, OC = c,OB = b,OD = d với a,b,c,d > 0 (hình vẽ)
Theo Pitago ta có
O

AC = AC = a+b
BC = BD = c+d
A

AD =
B

CD =
Ta cần chứng minh AB.BC + AD.CD AC.BD
Thật vậy ta có

Vậy (BĐTĐ)
* Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki để chứng minh
10/ Một số vấn đề phát triển của bất đẳng thức trong ứng dụng giải một số dạng toán khác
a/ Ứng dụng trong việc giải bất phương trình
b/ Ứng dụng trong việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 1 :
1/ Cho và
Tìm

Lời giải :
=>
Đẳng thức xảy ra <=>
Ví dụ 2 :
2/ Cho
Tìm
Lời giải :


lại có
=>
Đẳng thức xảy ra <=>

c/ Một số bất đẳng thức luyện tập thêm
Bài 1
Cho sao cho . Biết a/Chứng minh BDT:

b/Tìm min:
Bài 2:
Cho là 3 cạnh của tam giác.CMR:

Bài 3
Cho là các số thực dương thoả mãn
CMR

Bài 4:
Cho a;b;c >0.CMR:

Bài 5.
Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực :

Bài 6.
Cho a;b;c;d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=1. Chứng minh rằng :

Bài 7
Cho

Bài 8
Cho và .CMR:

Bài 9
a/ Tìm GTNN của A =
b/ Tìm GTNN của: A =
Với và
Bài 10
a/ Tìm GTLN của:
b/ Tìm GTLN của:
Bài 11
Cho thỏa mãn .
CMR: và
Bài 12
Cho .CM BĐT:

Bài 13
Cho .CMR:

Bài 14.
Cho thỏa mãn .CMR:

Bài 15
Với .Tìm min
Mọi thắc Mawc: Liên hệ phan thin: pthin33@yahoo.com.vn
0984960998