Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm và tích phân, sử dụng các nguyên hàm cơ bản
Bản chất của phương pháp này là sử dụng các biến đổi sơ cấp hàm dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) các hàm đơn giản hơn có trong bảng nguyên hàm cơ bản:
Để triển khai được phương pháp này cần nắm vững một số biến đổi căn bản, chẳng hạn những biến đổi sau đây rất hay sử dụng trong bài tập, cụ thể như sau:
Đây là phương pháp rất cơ bản, phù hợp với mọi đối tượng học sinh khi mới tiếp cận được các khái niệm và tính chất, giáo viên cần đặc biệt lưu ý tăng cường lượng bài tập phân hóa theo dạng hàm phù hợp với phương pháp nhằm mấy mục đích sau:
"Tích phân của hàm lượng giác là dạng bài phong phú và khó đưa ra được quy trình chung bởi sự đa dạng được thể hiện ngay trong hệ thống lí thuyết các công thức biến đổi lượng giác. Ở đây đòi hỏi sự khéo léo của người giải toán trong việc tìm ra dấu hiệu và vận dụng công thức biến đổi phù hợp. Do vậy kiểu tích phân này rất phù hợp cho rèn luyện và phát huy tư duy linh hoạt cho Học sinh giỏi toán".
- Học sinh phải sử dụng nhiều lần các nguyên hàm cơ bản (cùng một công thức nguyên hàm cơ bản với những hình thức khác nhau) để học sinh có thể thuộc và thành thạo công thức.
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi đa thức, phân thức, căn thức, lũy thừa, lượng giác, số mũ... cho học sinh nhằm khắc sâu kiến thức đã học trước đó. Đối với học sinh giỏi nhằm rèn luyện tính mềm dẻo – linh hoạt trong tư duy Toán, tránh việc làm phức tạp hóa bài toán theo những phương pháp khác.
- Những trở ngại trong một số bài toán theo hướng biến đổi sẽ gây hứng thú cho học sinh thúc đẩy năng lực tự tìm hiểu các phương pháp khác mạnh hơn.
Giáo viên cần đa dạng hóa hình thức câu hỏi trong bài tập: Ngoài bài toán trực tiếp là tìm nguyên hàm – tích phân có thể sử dụng các kiểu hỏi khác:
Chứng minh đẳng thức; Tìm điều kiện (cân bằng hệ số) để đẳng thức xảy ra; Giải phương trình, bất phương trình tích phân; Tính đạo hàm của hàm tích phân ... Do khuôn khổ có hạn, báo cáo chỉ thể hiện nội dung này trong phần bài tập vận dụng dưới đây.
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm – tích phân: Là phương pháp biến đổi vận dụng hai công thức đổi biến số ở trên. Có hai kiểu vận dụng, đó là:
Các bước tính tích phân...:
Các bước tìm nguyên hàm:
Hệ thống một số dạng đổi biến thường gặp:
Thầy Phạm Bắc Phú lưu ý, với phương pháp này, giáo viên lưu ý rèn luyện học sinh giải toán theo một quy trình:
Đổi biến số là phương pháp hay được sử dụng nhất (một cách trực tiếp hoặc gián tiếp dưới góc độ đổi vi phân) vì vậy cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình – các bước làm bài.
Có hai quy trình tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Việc tiếp cận hai quy trình này dựa theo một trong hai cách (tùy theo năng lực của học sinh, tùy thuộc theo thời gian học tập):
Giáo viên giới thiệu quy trình, làm mẫu, phân tích để học sinh hiểu và vận dụng. Củng cố quy trình qua bài tập.
Giáo viên để học sinh bàn luận về các công việc phải làm nếu quyết định đổi biến cho bài toán cũ để dễ tính hơn, khái quát các ý chính để thống nhất thành quy trình chung. Củng cố quy trình qua bài tập.
Giáo viên chú ý rèn luyện các khâu trung gian, trong đó có hai khâu quan trọng là: Phát hiện lựa chọn ẩn mới; đổi vi phân. Thông qua các thí dụ cần chỉ cho học sinh thấy khi nào ta đổi vi phân trực tiếp dx theo t và dt, khi nào đổi vi phân h(x)dx theo t và dt.
Dạy học sinh tư duy phân tích, liên hệ, tự phản biện và khái quát hóa: Mục tiêu là để học sinh tự tìm ra cách thức biến đổi, chọn biến phù hợp đối với bài toán cụ thể.
Có hai định hướng trong việc lựa chọn biến mới:
Dựa trên kinh nghiệm: Kinh nghiệm làm bài nguyên hàm – tích phân theo dạng; kinh nghiệm giải các bài toán đại số bằng cách sử dụng biến phụ (điều này thể hiện sự thống nhất cách tư duy của Toán học)
Dựa trên đặc điểm đặc biệt và mối liên hệ của các biểu thức dưới dấu tích phân.
Người dạy cần hệ thống các dạng đổi biến thường gặp trong bài tập và tạo được "kho" bài tập phong phú theo các dạng nhưng trong giảng dạy không nên cung cấp hết mọi dạng đó cho học sinh một cách trực tiếp mà thông qua một số thí dụ điển hình để phân tích cho học sinh cách đổi biến phù hợp.
Mục tiêu của dạy bài tập theo làm phương pháp này là cung cấp cách tư duy tìm ra biến mới tốt hơn là làm quá nhiều bài tập.
Sáng tạo bài toán mới: Để sáng tạo bài toán mới giải theo phương pháp đổi biến số cần tuân theo các bước như:
Theo bốn bước trên có thể dùng một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Sử dụng các dạng nguyên hàm - tích phân giải bằng phương pháp đổi biến mà ta hệ thống được. Cách làm này tạo ra những bài toán theo khuôn mẫu sẵn có, quen thuộc với học sinh, có thể dùng để củng cố kĩ năng theo dạng bài.
Hướng 2:
Nguồn: giaoducthoidai.vn
Bản chất của phương pháp này là sử dụng các biến đổi sơ cấp hàm dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) các hàm đơn giản hơn có trong bảng nguyên hàm cơ bản:
Để triển khai được phương pháp này cần nắm vững một số biến đổi căn bản, chẳng hạn những biến đổi sau đây rất hay sử dụng trong bài tập, cụ thể như sau:
Đây là phương pháp rất cơ bản, phù hợp với mọi đối tượng học sinh khi mới tiếp cận được các khái niệm và tính chất, giáo viên cần đặc biệt lưu ý tăng cường lượng bài tập phân hóa theo dạng hàm phù hợp với phương pháp nhằm mấy mục đích sau:
"Tích phân của hàm lượng giác là dạng bài phong phú và khó đưa ra được quy trình chung bởi sự đa dạng được thể hiện ngay trong hệ thống lí thuyết các công thức biến đổi lượng giác. Ở đây đòi hỏi sự khéo léo của người giải toán trong việc tìm ra dấu hiệu và vận dụng công thức biến đổi phù hợp. Do vậy kiểu tích phân này rất phù hợp cho rèn luyện và phát huy tư duy linh hoạt cho Học sinh giỏi toán".
- Học sinh phải sử dụng nhiều lần các nguyên hàm cơ bản (cùng một công thức nguyên hàm cơ bản với những hình thức khác nhau) để học sinh có thể thuộc và thành thạo công thức.
- Rèn luyện kĩ năng biến đổi đa thức, phân thức, căn thức, lũy thừa, lượng giác, số mũ... cho học sinh nhằm khắc sâu kiến thức đã học trước đó. Đối với học sinh giỏi nhằm rèn luyện tính mềm dẻo – linh hoạt trong tư duy Toán, tránh việc làm phức tạp hóa bài toán theo những phương pháp khác.
- Những trở ngại trong một số bài toán theo hướng biến đổi sẽ gây hứng thú cho học sinh thúc đẩy năng lực tự tìm hiểu các phương pháp khác mạnh hơn.
Giáo viên cần đa dạng hóa hình thức câu hỏi trong bài tập: Ngoài bài toán trực tiếp là tìm nguyên hàm – tích phân có thể sử dụng các kiểu hỏi khác:
Chứng minh đẳng thức; Tìm điều kiện (cân bằng hệ số) để đẳng thức xảy ra; Giải phương trình, bất phương trình tích phân; Tính đạo hàm của hàm tích phân ... Do khuôn khổ có hạn, báo cáo chỉ thể hiện nội dung này trong phần bài tập vận dụng dưới đây.
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm – tích phân: Là phương pháp biến đổi vận dụng hai công thức đổi biến số ở trên. Có hai kiểu vận dụng, đó là:
Các bước tính tích phân...:
Các bước tìm nguyên hàm:
Hệ thống một số dạng đổi biến thường gặp:
Thầy Phạm Bắc Phú lưu ý, với phương pháp này, giáo viên lưu ý rèn luyện học sinh giải toán theo một quy trình:
Đổi biến số là phương pháp hay được sử dụng nhất (một cách trực tiếp hoặc gián tiếp dưới góc độ đổi vi phân) vì vậy cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình – các bước làm bài.
Có hai quy trình tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Việc tiếp cận hai quy trình này dựa theo một trong hai cách (tùy theo năng lực của học sinh, tùy thuộc theo thời gian học tập):
Giáo viên giới thiệu quy trình, làm mẫu, phân tích để học sinh hiểu và vận dụng. Củng cố quy trình qua bài tập.
Giáo viên để học sinh bàn luận về các công việc phải làm nếu quyết định đổi biến cho bài toán cũ để dễ tính hơn, khái quát các ý chính để thống nhất thành quy trình chung. Củng cố quy trình qua bài tập.
Giáo viên chú ý rèn luyện các khâu trung gian, trong đó có hai khâu quan trọng là: Phát hiện lựa chọn ẩn mới; đổi vi phân. Thông qua các thí dụ cần chỉ cho học sinh thấy khi nào ta đổi vi phân trực tiếp dx theo t và dt, khi nào đổi vi phân h(x)dx theo t và dt.
Dạy học sinh tư duy phân tích, liên hệ, tự phản biện và khái quát hóa: Mục tiêu là để học sinh tự tìm ra cách thức biến đổi, chọn biến phù hợp đối với bài toán cụ thể.
Có hai định hướng trong việc lựa chọn biến mới:
Dựa trên kinh nghiệm: Kinh nghiệm làm bài nguyên hàm – tích phân theo dạng; kinh nghiệm giải các bài toán đại số bằng cách sử dụng biến phụ (điều này thể hiện sự thống nhất cách tư duy của Toán học)
Dựa trên đặc điểm đặc biệt và mối liên hệ của các biểu thức dưới dấu tích phân.
Người dạy cần hệ thống các dạng đổi biến thường gặp trong bài tập và tạo được "kho" bài tập phong phú theo các dạng nhưng trong giảng dạy không nên cung cấp hết mọi dạng đó cho học sinh một cách trực tiếp mà thông qua một số thí dụ điển hình để phân tích cho học sinh cách đổi biến phù hợp.
Mục tiêu của dạy bài tập theo làm phương pháp này là cung cấp cách tư duy tìm ra biến mới tốt hơn là làm quá nhiều bài tập.
Sáng tạo bài toán mới: Để sáng tạo bài toán mới giải theo phương pháp đổi biến số cần tuân theo các bước như:
Theo bốn bước trên có thể dùng một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Sử dụng các dạng nguyên hàm - tích phân giải bằng phương pháp đổi biến mà ta hệ thống được. Cách làm này tạo ra những bài toán theo khuôn mẫu sẵn có, quen thuộc với học sinh, có thể dùng để củng cố kĩ năng theo dạng bài.
Hướng 2:
Nguồn: giaoducthoidai.vn
