Tính momen quán tính là một phần rất hay và thu hút trong cơ vật rắn. Việc tính momen quán tính thông thường là tích phân.
$I = sum_i m_i r_i^2$
Thông thường ta sẽ chuyển sum thành tích phân. Làm một ví dụ đơn giản để thấy được vấn đề: Tính momen quán tính của một hình cầu đặc đồng chất, bán kính R đối với tâm O của nó.
Giải:
Xét lớp cầu mỏng có bán kính$ r<R$, bề dày $dr$.Momen quán tính của lớp cầu này đối vs tâm O là:
$dI = dm r^2 = m/V * 4pir^2dr * r^2 = (3m)/(4 pi R^3) 4pi r^4 dr$
$I = (3m)/(4 pi R^3) 4pi int_0^R r^4 dr = (3mR^5)/(5R^3) = 3/5mR^2$
Đây là ví dụ đơn giản, trên thực tế việc dùng tích phân là phức tạp và dễ nhầm lẫn. Hơn nữa, theo chủ trương thì vật lý phổ thông càng hạn chế tích phân càng tốt, nên em xin trình bày vài cách tính để tránh tích phân.
Trước hết cần nắm một số momen quán tính phổ biến:
- Của vành tròn bán kính $R$ với trục vuông góc với mp vành: $I=mR^2$
- Của bản mỏng hình tròn hoặc hình trụ bán kính $R$ với trục quay vuông góc với mặt bản: $I = 1/2 mR^2$
- Của thanh dài $l $với trục quay là trung trực của thanh:$ I = 1/(12)ml^2$
- Của hình cầu bán kính $R $với trục quay qua tâm:$ I=2/5mR^2$
Sử dụng định lý về trục song song (định lý Stai- nơ – Huy- ghen)
phương pháp này dùng khi đã biết momen quán tính đi qua khối tâm.
$I_K = I_G + md^2$
$I_G$ là momen quán tính đối với trục đi qua khối tâm
$I_K $là momen quán tính đối với trục song song với trục qua khối tâm
$d$ là khoảng cách giữa 2 trục
Ví dụ:
Tính momen quán tính của thanh đồng chất khối lượng m dài l với trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh.
giải
Ta biết $I_G =1/12 ml^2$
Momen quán tính cần tính:
$I = 1/12 ml^2 + m(l/2)^2 = 1/3 ml^2$
Định lý về trục vuông góc:
Thường dùng cho các vật có dạng đối xứng. Ta sẽ tính momen quán tính đối với một điểm, sau đó sử dụng định lý.
Với ba trục $I_x, I_y, I_z$ đôi một vuông góc thì :
$I_z = I_x + I_y$
Ví dụ:
1. Tính momen quán tính của bản mỏng tròn bán kính R đối với trục trùng với đường kính của nó.
Giải
Ta đã biết momen quán tình với trục đi qua tâm vuông góc với mặt bản
$I_z = 1/2 mR^2 = I_x + I_y$
Dễ thấy $I_x = I_y = 1/2I_z = 1/4mR^2$
2. Tính momen quán tính của quả cầu rổng, khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm.
giải
Momen quán tính đối với tâm O:
$I_O = sum m_i R^2= R^2 sum m_i = mR^2$
$I_O = sum m_i(x_i^2 + y_i^2 + z_i^2)$
Vì 3 trục tương đương nhau do đối xứng cầu nên
$I_O = 3sum m_i x_i^2$
$I_z = I_x + I_y = 2 sum m_i x_i^2$
$I_z = 2/3 I_O = 2/3mR^2$
Sử dụng tính cộng được của momen quán tính:
Phương pháp này sử dụng khi ta có thể chồng chập các vật có hình dạng giống nhau để tìm liên hệ
Ví dụ:
Một tấm mỏng hình bán trụ bán kính R, khối lượng m. Tìm momen quán tính của nó với trục đi qua tâm O vuôn góc với mặt phẳng của tấm.
giải
Ta ghép 2 tấm gióng nhau lại sẽ tạo được một hình trụ. Momen quán tính của nó
$I_O = ½ 2m R^2 = I_1 + I_2 =2 I_1$
Momen quán tính cần tính :
$I_1 = 1/2I_O = 1/2mR^2$
Sử dụng phương pháp tổng thể, thông qua momen động lượng
Phương pháp này thường được sử dụng với các mặt phẳng quay như dưới.
Ví dụ:
Tính momen quán tính của một tấm phẳng mỏng hình tròn bán kính R, khối lượng m với trục đi qua tâm hợp góc $alpha$ với mặt phẳng tấm.
giải
Giả sử tấm quay với vận tốc góc $vec(omega)$
Phân tích ra 2 thành phần
$omega_1 = omega sin alpha$
$omega_2 = omega cos alpha$
$L_1 = I_1 omega_1 = 1/2mR^2 omega sin alpha$
$L_2 = I_2 omega_2 = 1/4 mR^2 omega cos alpha $( $I_2$ tính từ định lý trục vuông góc)
$L = sqrt(L_1^2 + L_2^2) = (mR^2 omega)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Momen quán tính cần tính:
$I = L/omega = (mR^2)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Sử dụng định lý về tỉ xích và tính cộng được:
đây là một phương pháp rất hay
Ví dụ:
Tính momen quán tính của bản mỏng hình chữ nhật 2 cạnh là a,b với trục đi qua tâm vuông góc với bản.
Giải
Ta biết là$ I = summ_i r_i^2$
Từ hình vẽ ta thấy $I_O = sum m_i r_i^2 $thì
$I_(O_1) = sum m_i/4 (r_i/2)^2 =1/4*1/4 I_O = 1/(16)I_O$
$I_(O_1) $là momen quán tính của riêng hình chữ nhật nhỏ tâm $O_1$
Theo tính cộng được thì momen quán tính của hình chữ nhật nhỏ tâm $O_1$ bằng ¼ hình chữ nhật lớn. Theo Stai-nơ:
$1/4 I_O = I_(O_1) + m/4((a^2+b^2)/16) = 1/16I_O + m/4((a^2+b^2)/16)$
$=>I_O = m/12(a^2+b^2)$
Một số bài tập loại này cho các bạn:
Tính momen quán tính của hình lập phương cạnh a, trục quay là trục đi qua tâm 2 mặt đối nhau. Tương tự với các hình hộp chữ nhật, mặt phẳng tam giác...
Cuối cùng là biết sử dụng kết hợp các phương pháp một cách hợp lý, kể cả tích phân trong trường hợp đơn giản để đạt hiệu quả tốt. Have fun!
$I = sum_i m_i r_i^2$
Thông thường ta sẽ chuyển sum thành tích phân. Làm một ví dụ đơn giản để thấy được vấn đề: Tính momen quán tính của một hình cầu đặc đồng chất, bán kính R đối với tâm O của nó.
Giải:
Xét lớp cầu mỏng có bán kính$ r<R$, bề dày $dr$.Momen quán tính của lớp cầu này đối vs tâm O là:
$dI = dm r^2 = m/V * 4pir^2dr * r^2 = (3m)/(4 pi R^3) 4pi r^4 dr$
$I = (3m)/(4 pi R^3) 4pi int_0^R r^4 dr = (3mR^5)/(5R^3) = 3/5mR^2$
Đây là ví dụ đơn giản, trên thực tế việc dùng tích phân là phức tạp và dễ nhầm lẫn. Hơn nữa, theo chủ trương thì vật lý phổ thông càng hạn chế tích phân càng tốt, nên em xin trình bày vài cách tính để tránh tích phân.
Trước hết cần nắm một số momen quán tính phổ biến:
- Của vành tròn bán kính $R$ với trục vuông góc với mp vành: $I=mR^2$
- Của bản mỏng hình tròn hoặc hình trụ bán kính $R$ với trục quay vuông góc với mặt bản: $I = 1/2 mR^2$
- Của thanh dài $l $với trục quay là trung trực của thanh:$ I = 1/(12)ml^2$
- Của hình cầu bán kính $R $với trục quay qua tâm:$ I=2/5mR^2$
Sử dụng định lý về trục song song (định lý Stai- nơ – Huy- ghen)
phương pháp này dùng khi đã biết momen quán tính đi qua khối tâm.
$I_K = I_G + md^2$
$I_G$ là momen quán tính đối với trục đi qua khối tâm
$I_K $là momen quán tính đối với trục song song với trục qua khối tâm
$d$ là khoảng cách giữa 2 trục
Ví dụ:
Tính momen quán tính của thanh đồng chất khối lượng m dài l với trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh.
giải
Ta biết $I_G =1/12 ml^2$
Momen quán tính cần tính:
$I = 1/12 ml^2 + m(l/2)^2 = 1/3 ml^2$
Định lý về trục vuông góc:
Thường dùng cho các vật có dạng đối xứng. Ta sẽ tính momen quán tính đối với một điểm, sau đó sử dụng định lý.
Với ba trục $I_x, I_y, I_z$ đôi một vuông góc thì :
$I_z = I_x + I_y$
Ví dụ:
1. Tính momen quán tính của bản mỏng tròn bán kính R đối với trục trùng với đường kính của nó.
Giải
Ta đã biết momen quán tình với trục đi qua tâm vuông góc với mặt bản
$I_z = 1/2 mR^2 = I_x + I_y$
Dễ thấy $I_x = I_y = 1/2I_z = 1/4mR^2$
2. Tính momen quán tính của quả cầu rổng, khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm.
giải
Momen quán tính đối với tâm O:
$I_O = sum m_i R^2= R^2 sum m_i = mR^2$
$I_O = sum m_i(x_i^2 + y_i^2 + z_i^2)$
Vì 3 trục tương đương nhau do đối xứng cầu nên
$I_O = 3sum m_i x_i^2$
$I_z = I_x + I_y = 2 sum m_i x_i^2$
$I_z = 2/3 I_O = 2/3mR^2$
Sử dụng tính cộng được của momen quán tính:
Phương pháp này sử dụng khi ta có thể chồng chập các vật có hình dạng giống nhau để tìm liên hệ
Ví dụ:
Một tấm mỏng hình bán trụ bán kính R, khối lượng m. Tìm momen quán tính của nó với trục đi qua tâm O vuôn góc với mặt phẳng của tấm.
giải
Ta ghép 2 tấm gióng nhau lại sẽ tạo được một hình trụ. Momen quán tính của nó
$I_O = ½ 2m R^2 = I_1 + I_2 =2 I_1$
Momen quán tính cần tính :
$I_1 = 1/2I_O = 1/2mR^2$
Sử dụng phương pháp tổng thể, thông qua momen động lượng
Phương pháp này thường được sử dụng với các mặt phẳng quay như dưới.
Ví dụ:
Tính momen quán tính của một tấm phẳng mỏng hình tròn bán kính R, khối lượng m với trục đi qua tâm hợp góc $alpha$ với mặt phẳng tấm.
giải
Giả sử tấm quay với vận tốc góc $vec(omega)$
Phân tích ra 2 thành phần
$omega_1 = omega sin alpha$
$omega_2 = omega cos alpha$
$L_1 = I_1 omega_1 = 1/2mR^2 omega sin alpha$
$L_2 = I_2 omega_2 = 1/4 mR^2 omega cos alpha $( $I_2$ tính từ định lý trục vuông góc)
$L = sqrt(L_1^2 + L_2^2) = (mR^2 omega)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Momen quán tính cần tính:
$I = L/omega = (mR^2)/2 sqrt(sin^2 alpha + 1/4cos^2alpha)$
Sử dụng định lý về tỉ xích và tính cộng được:
đây là một phương pháp rất hay
Ví dụ:
Tính momen quán tính của bản mỏng hình chữ nhật 2 cạnh là a,b với trục đi qua tâm vuông góc với bản.
Giải
Ta biết là$ I = summ_i r_i^2$
Từ hình vẽ ta thấy $I_O = sum m_i r_i^2 $thì
$I_(O_1) = sum m_i/4 (r_i/2)^2 =1/4*1/4 I_O = 1/(16)I_O$
$I_(O_1) $là momen quán tính của riêng hình chữ nhật nhỏ tâm $O_1$
Theo tính cộng được thì momen quán tính của hình chữ nhật nhỏ tâm $O_1$ bằng ¼ hình chữ nhật lớn. Theo Stai-nơ:
$1/4 I_O = I_(O_1) + m/4((a^2+b^2)/16) = 1/16I_O + m/4((a^2+b^2)/16)$
$=>I_O = m/12(a^2+b^2)$
Một số bài tập loại này cho các bạn:
Tính momen quán tính của hình lập phương cạnh a, trục quay là trục đi qua tâm 2 mặt đối nhau. Tương tự với các hình hộp chữ nhật, mặt phẳng tam giác...
Cuối cùng là biết sử dụng kết hợp các phương pháp một cách hợp lý, kể cả tích phân trong trường hợp đơn giản để đạt hiệu quả tốt. Have fun!
