Đề xuất phương pháp dạy phương trình lượng giác hiệu quả

Thảo luận trong 'Trao đổi, thảo luận' bắt đầu bởi Hoài An, 16/8/15.

Lượt xem: 199

  1. Hoài An Điều hành viên

    6 hoạt động quan trọng

    Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp mà theo thầy Nguyễn Văn Chinh có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là: H1, H2, H3, H4, H5, H6.

    Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác như sau.

    H1: Nhận dạng phương trình. Nếu học sinh đã nhận dạng được phương trình cần giải thì chuyển qua H2.

    H2: Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc H2 thì chuyển sang H3.

    H3: Giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải).

    H4: Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm,không thừa nghiệm, tránh các sai lầm phổ biến thường gặp.

    H5: Phân tích các sai lầm của học sinh để thu hoạch về tri thức toán học và tri thức phương pháp toán học.

    H6: Xét mối liên hệ với các bài toán liên quan,mở rộng bài toán bằng tương tự,khái quát hóa.

    Các hoạt động thành phần trên có liên quan mật thiết với nhau ,thường xuất hiện đan kết hoặc lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành các hoạt động trên giúp giáo viên nắm được cách thức tiến hành toàn bộ dạy học phương trình .

    Nhận dạng phương trình và lưu ý cho từng dạng

    Khi học giải phương trình lượng giác, nhiều học sinh nhầm tưởng rằng sẽ học được những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phương trình lượng giác, nhưng thực ra không có một phương pháp tổng quát nào.

    Các phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông rất đa dạng về thể loại, phong phú về cách giải. Vì vậy một yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình lượng giác khác nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng.

    Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác. Chẳng hạn sách giáo viên Đại số và giải tích 11 Ban Khoa học tự nhiên thì các phương trình lượng giác được phân loại thành:

    Phương trình lượng giác cơ bản; một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậc hai hay phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx ,phương trình đối xứng theo sinx và cosx); những phương trình lượng giác khác.

    Cách phân loại như vậy có ưu điểm là chi tiết, tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và phương pháp giải.

    Theo kinh nghiệm của thầy Nguyễn Văn Chinh, sử dụng hệ thống phân dạng nói trên với một sự thay thích hợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp giải chúng .

    Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trình thành hai loại: Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình lượng giác có tham số .

    Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phương trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản.

    Các phương trình có tham số nhìn chung sẽ phức tạp, vì vậy học sinh phải có khả năng phân tích để chia tập hợp các giá trị của tham số thành những bộ phận ,trong đó phương trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tương đương phương trình.

    Chi tiết và cụ thể hơn, có thể phân dạng các phương trình lượng giác thành: Phương trình lượng giác cơ bản; phương trình lượng giác gần cơ bản; phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx; các phương trình lượng giác có thể đại số hóa; các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích; các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn; các phương trình lượng giác không mẫu mực.

    Phương trình có thể đại số hóa có thể chia chi tiết hơn thành: Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác; phương trình đối xứng đối với sinx và cosx; phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.

    Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích có thể chia thành: Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0; dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích; dạng chứa những biểu thức có thừa số chung; dạng phương trình có những liên quan đặc biệt.

    Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn có thể chia thành: Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức; phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn; phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit; phương trình lượng giác trên một miền .

    Phương trình lượng giác không mẫu mực: Các phương trình không mẫu mực giải được nhờ sử dụng phương pháp đánh giá các số hạng, nhân tử.

    Các phương trình không mẫu mực giải được dựa vào tính chất của hàm số và đồ thị.

    Về các phương trình có chứa tham số, học sinh có thể gặp các dạng cụ thể sau: Biện luận phương trình; biện luận số nghiệm của phương trình; điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất; điều kiện để hai phương trình tương đương.

    Phương trình lượng giác cơ bản: Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc giải bất cứ phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình dạng này.

    Các phương trình lượng giác cơ bản gồm: sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x là ẩn, a là số đã cho.

    Phương trình lượng giác gần cơ bản: Là các phương trình dạng sinf(x)=a, cosf(x)=a, tanf(x)=a, cotf(x)=a.

    Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0

    Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa: Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa:

    Tuy nhiên có hai lí do chủ yếu không nên máy móc đặt ẩn phụ dạng này cho mọi trường hợp.

    Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình.

    Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi.

    Do đó trong nhiều trường hợp, để đại số hóa một phương trình lượng giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông minh hơn.

    Các phương trình lượng giác có thể biến đổi đưa về tích: Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Mục đích của phương pháp này là quy việc giải một phương trình phức tạp về việc giải một tập hợp các phương trình cơ bản.

    Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn: Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý các phepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại đi nghiệm vi phạm điều kiện.

    Phương trình lượng giác không mẫu mực: Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháp truyền thống.

    Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức ) sử dụng các tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thị của hàm số để giải được chúng.

    Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc

    Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động dạy học giải phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng giác có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải.

    Việc nhận ra dạng phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổng quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó, trong hoạt động thành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.

    Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình.

    Xem cụ thể TẠI ĐÂY

    Giải phương trình nhận được (H3)

    Nếu hoạt động H2 (biến đổi phương trình về dạng quen thuộc) là quan trọng nhất thì hoạt động H3 có vai trò quyết định trong toàn bộ hoạt động giải phương trình lượng giác.

    Trước hết giáo viên cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện kỹ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản và đây là khâu quyết định cuối cùng của bất cứ hoạt động giải phương trình lượng giác nào; sản phẩm thu được có đạt yêu cầu, bảo đảm chất lượng hay không hoàn toàn phụ thuộc vào kỹ năng đơn giản nhất nhưng quan trọng này.

    Bên cạnh việc nắm vững công thức nghiệm tổng quát của các phương trình lượng giác cơ bản, giáo viên cũng cần lưu ý học sinh dạng rút gọn của công thức nghiệm vào phương trình lượng giác đặc biệt.

    Một số lớn phương trình lượng giác được giải bằng phương pháp đại số hoá, vì vậy bên cạnh việc bồi thường các kỹ năng lượng giác, giáo viên cũng chú ý bồi dưỡng, nâng cao năng lực giải phương trình đại số kỹ năng nhẩm nghiệm, giảm bậc phương trình bằng cách biến đổi phương trình về dạng tích.

    Sau cùng, tính thuyết phục của một bài giải phụ thuộc vào khả năng trình bày giải của học sinh: các phép đổi nào không tương đương, phân chia trường hợp phải hợp lý, đầy đủ.

    Kiểm tra kết quả (H4)

    Các hoạt động thành phần H1, H2 , H3 vừa diễn ra là những dạng hoạt động rất tích cực, nó tiêu hao năng lượng của người giải toán một cách đáng kể, nó đòi hỏi khả năng tập trung cao độ đồng thời tập luyện những xâu chuỗi thao tác tư duy liên tục.

    Chính vì thế kết thúc (H3), học sinh thường có cảm giác mệt mỏi nhưng dễ chịu và hài lòng với thành quả lao động của mình. Vì lẽ đó, các em học sinh thường kết thúc hoạt động giải toán ngay sau hoạt động thành phần H3.

    Giáo viên cần thấy trước diễn biến tâm lý đó của học sinh để thường xuyên ý thức được yêu cầu rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, thông qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán.

    Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét tính hợp lý của đáp số so với đề tài hoặc bằng cách tìm những phương pháp khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau.

    Phân tích các sai lầm (H5)

    Việc chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó.

    Ngoài ra, bên cạnh việc vạch ra những sai lầm, phân tích được nguyên nhân, giáo viên cũng cần nghiên cứu và đề ra các biện pháp tích cực nhằm sửa chữa các sai lầm đó, làm được điều này chính là đã nâng cao năng lực toán học của học sinh.

    Để tiến hành tốt hoạt động thành phần H3, giáo viên phải có năng lực sư phạm tốt phải nắm vững chương trình, có trình độ tư duy toán học tốt, phải nắm chắc trình độ, năng lực học tập và tính cách của học sinh.

    Những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các chương trình lượng giác có thể là: Không hiểu được khái niệm, kí hiệu; tính toán nhầm lẫn; nhớ sai công thức; thực hiện các phép biến đổi đồng nhất hoặc biến đổi phương trình làm thay đổi tập xác định của phương trình; xét thiếu trường hợp; lập luận thiếu logic; diễn đạt kém; không hiểu hoặc hiểu sai đề toán.

    Mở rộng bài toán tương tự, khái quát hoá xét mối liên hệ với các bài toán liên quan

    Kết thúc mỗi bài giải, giáo viên có thể tổng kết và chốt lại những nét đặc trưng về phương pháp giải của bài toán đó.

    Để học sinh ghi nhớ tất cả những tri thứ phương pháp đó một cách tích cực và tự giác, giáo viên nên tìm những bài toán có phương pháp giải tương tự, những tình huống tương tự để cho học sinh tập dượt vật dụng các tri thức phương pháp vừa thu hoạch được.
    Nguồn: giaoducthoidai.vn
    Đang tải...

  2. Bình luận bằng Facebook

Chia sẻ trang này